Ejercicios de selectividad

1.-La región factible de un problema de programación lineal es la intersección del primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones:

x/10+y/8<=1, x/5+y/8>=1, x/10+y/4>=1.

a) Dibuja dicha región y determina sus vértices.
b) Calcula el mínimo de la función objetivo f(x,y)=4x+5y, en el recinto anterior.

Solución: El mínimo vale 80/3 y se alcanza en (10/3,8/3).

(Andalucía.- Junio 00)

2.-a) Dibuja el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: x + y <=27, x>= 12, y>= 6.
b) Determina los vértices de este recinto.
c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = 90x + 60y en el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores?

Solución: El mínimo, 1440, se alcanza en (12, 6) y el máximo, 2250, en (21,6)

(Andalucía.- Junio 99)

3.- Las siguientes desigualdades definen un recinto en el plano:

x + 3y<=150, 5x + y<=200, 3x + 4y<=240, x>=1, y>=1

a) Determinar los vértices del recinto.
b) Si la función objetivo es f(x,y)=0,75x + y, ¿alcanza un máximo?, ¿es único?, ¿alcanza un mínimo?, ¿es único?

Solución: La función objetivo alcanza el máximo en cualquiera de los puntos del segmento AB, A=(24, 42) y B=(560/17, 600/17) y su valor es 60. Alcanza el mínimo, 1,75, en (1, 1)

(Cantabria.- Junio 01)

4.- Una empresa fabrica tres productos (P1, P2 y P3) en dos plantas (A y B). La planta A produce diariamente 1.000 unidades de P1, 3.000 de P2 y 5.000 de P3. La planta B produce diariamente 2.000 unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes al menos 80.000 unidades de P1, 160.000 de P2 y 200.000 de P3. Sabiendo que el coste diario de producción es de 200.000 pesetas en cada planta ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo coste?

Solución: Se debe trabajar 40 días en la planta A y 20 en la B, con un coste de 12 millones de pesetas.

(La Rioja.- Junio 99)

5.- El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes. El comprimido de color rojo que cuesta 25 pesetas la unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 y el comprimido de color azul que también cuesta 25 pesetas la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo?

Solución: Debe tomar 2 comprimidos de color rojo y 15 comprimidos de color azul. El coste será de 425 pesetas.

(Zaragoza .- Junio 01)

6.- En un almacén hay 100 cajas pequeñas y 100 cajas grandes. Cada una de las cajas pequeñas pesa 100 kilos, ocupa un volumen de 30 decímetros cúbicos y tiene un valor de 65.000 pesetas; cada una de las cajas grandes pesa 200 kilos, ocupa un volumen de 40 decímetros cúbicos y tiene un valor de 100.000 pesetas. Una camioneta puede cargar 10.000 kilos y un volumen máximo de 2.400 decímetros cúbicos. Calcula cuántas cajas pequeñas y cuántas grandes hay que cargar de manera que el valor total de las cajas transportadas sea el máximo posible.

Solución: Debe cargar 40 cajas pequeñas y 30 grandes, con un valor de 5.600.000 pesetas.

(La Rioja.- Junio 01)

7.- Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 450 pesetas por cada broche sencillo y de 600 pesetas por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es el número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener máximo beneficio?

Solución: El máximo se obtiene fabricando 200 y 300 broches respectivamente con un beneficio de 270.000 pesetas

(Castilla-La Mancha.- Junio 99)

8.- Las 18 chicas y los 24 chicos de 2º de Bachillerato de un centro docente organizan un viaje. Para financiarlo deciden trabajar por las tardes en una empresa encuestadora que contrata equipos de dos tipos:
Tipo A: Dos chicas y cuatro chicos. Tipo B: Tres chicas y tres chicos. La empresa abona por una tarde de trabajo 3.000 pesetas al equipo del tipo A y 5.000 pesetas al equipo del tipo B. Se pide:
a) Dibujar la región factible
b) ¿Cómo les conviene distribuirse para obtener la mayor cantidad posible de dinero?
c) Si la empresa abonara por una tarde de trabajo 4000 pta al equipo del tipo A y 4000 pta al equipo del tipo B, ¿cómo les convendría entonces hacer la distribución?

Solución: b) El máximo dinero, 60.000 pesetas, se consigue formando 6 equipos de tipo B y ninguno de A. c) El máximo beneficio se obtiene en (3, 4) y es de 28.000 pesetas.

(Castilla-La Mancha.- Junio 00)

9.- Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido:
Tipo I: 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas.
Tipo II: 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas.
En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envase, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40.
El beneficio por venta es: 150 pesetas por cada bolsa del Tipo I y 225 por cada bolsa del Tipo II.
Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían venderse en ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible.

Solución: El beneficio obtenido máximo es igual a 15.750 pesetas y se obtiene si se venden 60 bolsas de tipo I y 30 del tipo II.

(Castilla-La Mancha.- Junio 01)

10.-Un cliente de un banco dispone de 3 millones de pesetas para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 1.200.000 pesetas de inversión máxima. El de tipo B presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos de tipo B, como máximo el doble de lo invertido en los de tipo A.

a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo para obtener un beneficio máximo?

b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

Solución: El beneficio máximo se obtiene invirtiendo 1.200.000 pesetas en bonos de tipo A y
1.800.000 en los de tipo B, y resulta ser de 288.000 pesetas. (Si utilizas la escena de Descartes "Plantilla general" para resolver el ejercicio, utiliza Zoom=0'1)

(Extremadura.- Junio 99)

11.- Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a 150 y 100 pesetas el metro, respectivamente, se emplean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cada hm (hectómetro) del tipo A y 6 kg de plástico y 12 kg de cobre para cada hm del tipo B.
Sabiendo que la longitud del cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 kg de plástico ni más de 168 kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima.

Solución: 12 hm de cable de tipo A y 10 hm del tipo B, para obtener 280.000 pesetas.

(Andalucía.- Junio 01)

12.- Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos: F1 , F2 y F3 . Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla:

Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 5.000 pesetas, de uno de agua de colonia es de 2.000 pesetas y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, de 360 de F2 y de 440 de F3 :
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.
b) ¿Se consumen todas las existencias de F1 , F2 y F3 en la producción de los frascos que maximiza los beneficios?

Solución: a) Debe fabricar 180 y 30 frascos, respectivamente, para obtener unos ingresos de 960.003 pesetas. b) Sobran 320 unidades del factor F3.

(Zaragoza .- Junio 99)

13.-Una empresa produce dos tipos de bolsos A y B. La producción de un bolso de tipo A requiere 3 unidades de materia prima y 5 horas de trabajo. Por otra parte, la producción de un bolso de tipo B requiere 2 unidades de materia prima y 4 horas de trabajo. La empresa en cuestión dispone cada día de 180 unidades de materia prima y 320 horas de trabajo. Sabiendo que cada bolso de tipo A produce un beneficio de 4 unidades monetarias, cada bolso de tipo B 3 unidades monetarias y que se vende todo lo que se produce, se pide:
¿Cuántos bolsos de cada tipo se han de producir diariamente para que el beneficio sea máximo?

Solución: Debe fabricar 40 bolsos de tipo A y 30 de tipo B, y tendrá unos beneficios de 250 unidades monetarias.

(Zaragoza.- Septiembre 00)

14.- En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un televisor. mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 a un televisor. Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuales dedica 5 horas diarias a la venta o la instalación de electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se obtiene un beneficio de 50.000 pesetas por lavadora y de 45.000 pesetas por televisor, ¿cuántas lavadoras y cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener el máximo beneficio posible?

Solución: el número de lavadoras debe ser 600 y el de televisores 1440, para obtener 94.800.000 pesetas de beneficio.

(Castilla-La Mancha.- Junio 98)

15.- En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber un número mayor o igual de bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 pesetas y el de uno de gasolina es de 30 pesetas. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo.

Solución: Se deben almacenar 25 de cada tipo y el gasto será entonces de 1.250 pta.

(Madrid.- Junio 01)