RELACIONES MÉTRICAS

Las teorías de la proporcionalidad y de la semejanza cuyo fundador es Eudoxo (s. IV a. JC. ) fueron utilizadas con profusión por Euclides y permiten obtener una multitud de relaciones entre las medidas de los segmentos de ciertas figuras, relaciones que se llaman métricas, por esta razón. Las más importantes de ellas relativas a los triángulos rectángulos son sin duda los teoremas de Pitágoras, del Cateto y de la Altura. El teorema de Pitágoras es tan conocido que no necesita presentación. De los otros dos podemos decir que sirven de apoyo al teorema de Pitágoras y nos permiten resolver problemas que éste por si sólo no resolvería, por ejemplo, cuando conocemos un cateto y su proyección sobre la hipotenusa y queremos hallar el valor de ésta y el del otro cateto.

Generalmente, en la enseñanza secundaria, al abordar el estudio de estos teoremas, se parte del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la resolución de triángulos rectángulos y en el caso de que se haga la demostración se hace por semejanza. Pero sin duda la construcción y utilización de puzzles, que sirven para demostrar el teorema en base a su interpretación geométrica mediante la identificación de figuras poligonales equivalentes (que tienen igual área), nos proporciona un material que, por su carácter manipulativo, fomenta la motivación del alumno e incide favorablemente en la asimilación de dichos teoremas.

En cuanto al teorema de Pitágoras existen multitud de puzzles pitagóricos que pueden servir para este fin. Aquí se han utilizado dos muy significativos que se analizan en la introducción del tema homónimo y otros dos que son consecuencia del teorema del Cateto. Para éste y para el de la Altura, al no tener conocimiento de la existencia de puzzles de demostración, se han ideado unos aplicando el método de división (o equicomposición) y/o el de equiadición y siguiendo para ello la línea de investigación marcada por el lema 4 de la demostración del teorema de Bolyai-Herwien sobre equivalencia y equicomposición (Boltianski, 1981).