Teorema del Cateto

El teorema del cateto o teorema de Euclides establece que en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Es decir, si a es la hipotenusa, c y b los catetos y p y q sus proyecciones respectivas sobre a se verifica que  a/c=c/q y a/b=b/p o lo que es lo mismo, c2=a·q y b2=a·p. La demostración clásica de este resultado se basa en el hecho de que en un triángulo rectángulo los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes a él (y entre sí). A continuación se demuestra el teorema del cateto teniendo en cuenta la equivalencia (igualdad de áreas) entre el cuadrado de lado el cateto y el rectángulo de lados la hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella. Las dos primeras escenas demuestran el teorema del cateto por el método de división (o equicomposición). Dos figuras se llaman equicompuestas si, cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede (disponiendo estas partes de otra forma) componer con ellas la otra figura. Para demostrar el teorema del cateto, en las dos últimas escenas, se utiliza el método de adición. Dos figuras se dice que son equiadicionales si, añadiendo a una y otra las mismas partes, se obtienen dos figuras idénticas. Evidentemente, equicomposición y equiadición implican equivalencia. El recíproco también es cierto (teorema de Bolyai-Herwien).
 

TEOREMA DEL CATETO 1 (cateto b)

OBSERVA Y APRENDE

  • Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c).

  • Elige un triángulo rectángulo. Observa cómo está hecha la partición del cuadrado AEDC de lado b y pulsa el botón animar. Fíjate cómo las mismas piezas de dicha partición teselan "recubren" ahora el rectángulo NCHM de lados p y a. Compara el área del cuadrado AEDC con el del rectángulo NCHM y deduce y escribe el teorema del cateto para b. 

  • Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.  

PROYECTO DE TRABAJO

  • Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa a, el cuadrado AEDC sobre el lado b y un rectángulo NCHM  de lados p y a como en la escena. Aparte dibuja y recorta otro cuadrado A'E'D'C' de lado b. (Puedes utilizar la plantilla teorema1delcatetob).

  • Dibuja la partición de AEDC que has aprendido en la escena y reprodúcela en el cuadrado A'E'D'C'. Recorta las piezas que la forman y tesela con ellas el rectángulo NCHM  (puedes pegarlas sobre él).

  • Escribe la relación entre las áreas del cuadrado y del rectángulo así como el teorema del cateto para b.

    teorema1delcatetob.zip    teorema1delcatetob.pdf

   
 
TEOREMA DEL CATETO 1 (cateto c)

OBSERVA Y APRENDE

  • Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c).

  • Elige un triángulo rectángulo. Observa cómo está hecha la partición del cuadrado ABFG de lado c y pulsa el botón animar. Fíjate cómo las mismas piezas de dicha partición teselan "recubren" ahora el rectángulo NMIB de lados q y a. Compara el área del cuadrado ABFG con el del rectángulo NMIB y deduce y escribe el teorema del cateto para c. 

  • Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.  

PROYECTO DE TRABAJO

  • Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa a, el cuadrado ABFG sobre el lado c, un rectángulo NMIB  de lados q y a como en la escena. Aparte dibuja y recorta otro cuadrado A'B'F'G' de lado c. (Puedes utilizar la plantilla teorema1delcatetoc).

  • Dibuja la partición de ABFG que has aprendido en la escena y reprodúcela en el cuadrado A'B'F'G'. Recorta las piezas que la forman y tesela con ellas el rectángulo NMIB  (puedes pegarlas sobre él).

  • Escribe la relación entre las áreas del cuadrado y del rectángulo así como el teorema del cateto para c.

    teorema1delcatetoc.zip    teorema1delcatetoc.pdf

   
 
TEOREMA DEL CATETO 2 (cateto b)

 

OBSERVA Y APRENDE

  • Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c).

  • Elige un triángulo rectángulo. En el cuadrilátero NPDC observa que los triángulos APE (rojo) y ACN (rosa) están colocados de manera que adicionan al cuadrado AEDC de lado b. Pulsa el botón animar. Fíjate cómo los mismos triángulos, con respecto al mismo cuadrilátero, adicionan ahora al rectángulo NMHC de lados p y a. Compara el área del cuadrado AEDC con el del rectángulo NMHC y deduce y escribe el teorema del cateto para b. 

  • Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.  

PROYECTO DE TRABAJO

  • Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa a, el cuadrado AEDC de lado b sobre el cateto b y un rectángulo NMHC de lados p y a por encima de la hipotenusa. Prolonga los segmentos AN por A y ED por E hasta que se corten en P y resalta el cuadrilátero NPDC.  Duplica la figura resultante. 

  • Dibuja y recorta dos triángulos como APE (rojos) y dos como ACN (rosas). (Puedes utilizar la plantilla teorema2del catetob).

  • Pega los triángulos convenientemente en cada uno de los cuadriláteros NPDC  para reproducir las posiciones inicial y final de la escena.

  • Escribe la relación entre las áreas del cuadrado AEDC y del rectángulo NMHC así como el teorema del cateto para b.

    teorema2delcatetob.zip    teorema2delcatetob.pdf
   
 
TEOREMA DEL CATETO 2 (cateto c)

OBSERVA Y APRENDE

  • Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c).

  • Elige un triángulo rectángulo. En el cuadrilátero NBFP observa que los triángulos AGP (magenta) y ANB (verde) están colocados de manera que adicionan al cuadrado ABFG de lado c. Pulsa el botón animar. Fíjate cómo los mismos triángulos, con respecto al mismo cuadrilátero, adicionan ahora al rectángulo NBIM de lados q y a. Compara las áreas del cuadrado ABFG y del rectángulo NBIM y deduce y escribe el teorema del cateto para c. 

  • Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.  

PROYECTO DE TRABAJO

  • Dibuja un triángulo rectángulo ABC con su altura AN sobre la hipotenusa a, el cuadrado ABFG de lado c sobre el cateto c y un rectángulo NBIM de lados q y a por encima de la hipotenusa. 

    Prolonga los segmentos AN por A y FG por G hasta que se corten en P y resalta el cuadrilátero NBFP. Duplica la figura resultante. 

Dibuja y recorta dos triángulos como AGP (magentas) y dos como ANB (verdes). (Puedes utilizar la plantilla  teorema2delcatetoc).

  • Pega los triángulos convenientemente en cada uno de los cuadriláteros NBFP para reproducir las posiciones inicial y final de la escena.

  • Escribe la relación entre las áreas del cuadrado ABFG y del rectángulo NBIM así como el teorema del cateto para c.

    teorema2delcatetoc.zip    teorema2delcatetoc.pdf

             

©Javier de la Escosura Caballero  2002