Teorema de la Altura

El teorema de la altura establece que la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta. Es decir, si h es dicha altura y p y q los citados segmentos, se verifica que p/h=h/q, o lo que es lo mismo, h2=p·q. La demostración clásica de este resultado se basa en el hecho de que en un triángulo rectángulo los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí. A continuación se demuestra el teorema de la altura teniendo en cuenta la equivalencia (igualdad de áreas) entre el cuadrado de lado h y el rectángulo de lados p y q. La escena que sigue demuestra el teorema del cateto por el método de división (o equicomposición). Dos figuras se llaman equicompuestas si, cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede (disponiendo estas partes de otra forma) componer con ellas la otra figura. Evidentemente equicomposición implica equivalencia. El recíproco también es cierto (teorema de Bolyai-Herwien).
 

TEOREMA DE LA ALTURA

OBSERVA Y APRENDE

  • Arrastrando el punto de control gráfico A puedes obtener cualquier triángulo rectángulo de hipotenusa a (los catetos son b y c).

  • Elige un triángulo rectángulo. Observa cómo está hecha la partición del cuadrado AFGH de lado h y pulsa el botón animar. Fíjate cómo las mismas piezas de dicha partición teselan "recubren" ahora el rectángulo HCQP de lados p y q. Compara el área del cuadrado AFGH con el del rectángulo HCQP y deduce y escribe el teorema de la altura. 

  • Repite el apartado anterior hasta comprender el proceso.  

PROYECTO DE TRABAJO

  • Dibuja un triángulo rectángulo con su altura h sobre la hipotenusa a y un cuadrado AFGH de lado h y un rectángulo HCQP de lados p y q como en la escena. 

Aparte dibuja y recorta otro cuadrado A'F'G'H' de lado h. (Puedes utilizar la plantilla teoremadelaaltura).

  • Dibuja la partición de AFGH que has aprendido y reprodúcela en el cuadrado A'F'G'H'. Recorta las piezas que la forman y tesela con ellas el rectángulo HCQP (puedes pegarlas sobre él).

  • Escribe la relación entre las áreas del cuadrado y del rectángulo así como el teorema de la altura.

teoremadelaaltura.zip    teoremadelaaltura.pdf

 

             

©Javier de la Escosura Caballero  2002