Teorema
de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos (b y c) es igual al cuadrado de la hipotenusa (a):
a2=b2+c2
Los números a,b y c que verifican esta relación se llaman ternas pitagóricas o números pitagóricos en alusión al estudio que de ellos hicieron Pitágoras y sus discípulos. Los antecedentes históricos de este teorema se remontan a las civilizaciones babilónica y egipcia en el segundo milenio a.J.C. El papiro Rhind y el de Moscú confirman la existencia de tablas de número pitagóricos en esa época. Tras las inundaciones del Nilo, los agrimensores egipcios construían triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 y de hipotenusa 5, mediante una cuerda de 12 nudos para parcelar el terreno.
Euclides demuestra el Teorema de Pitágoras en la proposición 47 del Libro I de los Elementos: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto. En la proposición 48 demuestra que si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto, es decir, el recíproco de la Proposición 47.
Las más de 1000 demostraciones existentes en la actualidad confirman que el Teorema de Pitágoras es uno de los resultados que más ha llamado la atención a lo largo de la historia. En Loomis(1968) se encuentran 370 demostraciones diferentes numeradas y clasificadas como: algebraicas, geométricas, vectoriales y otras que utilizan la dinámica.
Generalmente, tanto en primaria como en secundaria, al abordar el estudio del Teorema de Pitágoras, se parte del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la solución de triángulos rectángulos. Pero sin duda la construcción y utilización de los puzzles pitagóricos, que sirven para demostrar el teorema en base a su interpretación geométrica, nos proporciona un material que, por su carácter manipulativo, fomenta la motivación del alumno e incide favorablemente en la asimilación de este teorema.
Las escenas que vienen a continuación están ordenadas en orden creciente de dificultad. La segunda y tercera demuestran el teorema de Pitágoras por el método de división (o equicomposición). Dos figuras se llaman equicompuestas si, cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede (disponiendo estas partes de otra forma) componer con ellas la otra figura. En las escenas primera y última se utiliza el método de adición. Dos figuras se dice que son equiadicionales si, añadiendo a una y otra las mismas partes, se obtienen dos figuras idénticas. Evidentemente, equicomposición y equiadición implican equivalencia. El recíproco también es cierto (teorema de Bolyai-Herwien). La primera escena (denominada puzzle clásico) se basa en la que, según muchos autores, es la demostración original de los pitagóricos. En el libro de Loomis aparece ésta con el número 91. La segunda escena se basa en la demostración que Meavilla (1989) atribuye a Thabit Ibn Qurra, matemático árabe del s.IX y se caracteriza por ser el puzzle pitagórico de menor número de piezas. Las escenas tercera y cuarta son a su vez demostraciones del teorema de Pitágoras deducidas de las del cateto y vistas ya en ese capítulo.
