Distribución Binomial

4- Cálculo de probabilidades para una binomial

Cuando se realiza un experimento binomial es lógico plantearse la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos. Más concretamente, si X es B(n,p) queremos calcular p(X=k), es decir la probabilidad de obtener k éxitos. En la siguiente escena aparece representada, mediante un diagrama de árbol, una binomial de 4 tiradas (n =4), utiliza la flecha tirada de la parte inferior de la escena para simular los sucesivos lanzamientos.

Calcular la probabilidad de una rama concreta es relativamente sencillo. Por ejemplo, la probabilidad de obtener "éxito" en los tres primeros resultados y "fracaso" en el último sería igual a:

p(éxito_1,éxito_2, éxito_3,fracaso_4)=p·p·p·q = p³q,

ya que el resultado de cada una de las tiradas no influye en el siguiente resultado.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener cada una de estas ramas coincide con el producto de todas las probabilidades que aparecen reflejadas en ella.

Más difícil parece contar el número de ramas en los que aparecen, por ejemplo, tres éxitos y un fracaso. Vas a practicarlo en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 4:

Observando el diagrama anterior, responde a los siguientes apartados:

¿Cuánto tendrá que valer p para que todas las ramas del diagrama tengan la misma probabilidad?
Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala:

Binomial de cuatro tiradas, número de ramas con:
0 éxitos	1 éxito	2 éxitos	3 éxitos	4 éxitos

Con la ayuda de la tabla anterior es fácil calcular, por ejemplo,

p(X=1) = 4 (ramas) · probabilidad de cada una de ellas = 4 p³q,

Razonando es esta manera calcula p(X=0), p(X=1), p(X=2), p(X=3) y p(X=4).

Imagínate que añades al diagrama de árbol anterior una nueva tirada. ¿Cuántas ramas tendría?. Si piensas que para obtener tres éxitos en 5 tiradas debes de haber obtenido:

- o bien dos éxitos en las cuatro primeras y uno más en la quinta
- o bien tres éxitos en las cuatro primeras y un fracaso en la quinta,
completarás sin dificultad la siguiente tabla:

Binomial de cinco tiradas, número de ramas con:
0 éxitos	1 éxito	2 éxitos	3 éxitos	4 éxitos	5 éxitos

Te darás cuenta de que acabas de obtener la quinta fila del triángulo de Tartaglia.

Los números del triángulo de Tartaglia reciben el nombre de números combinatorios y pueden escribirse con distintas notaciones. Nosotros vamos a representar por Cn,m el número que ocupa la posición número m dentro de la fila n, teniendo en cuenta que las posiciones las empezamos a contar desde m = 0. Así por ejemplo, la cuarta fila del triángulo sería:

C4,0=1, C4,1=4, C4,2=6, C4,3=4 y C4,4=1.

Calcula: C5,0, C5,2, C5,4, C6,4 y C6,2.

5- Distribución de probabilidad de una binomial

En el ejercicio anterior hemos obtenido que para una B(n,p) se verifica:

p(X=0)	p(X=1)	p(X=2)	...	p(X=k)	...	p(X=n)
Cn,0·p⁰·qⁿ = qⁿ	Cn,1·p¹·q^n-1 = n ·p·q^(n-1)	Cn,2·p²·q^(n-2)	...	Cn,k·p^k·q^(n-k)	...	Cn,n·pⁿ·q⁰ = pⁿ

En el siguiente ejercicio vas a aprender a utilizar esta tabla para valores concretos de n y p.

Ejercicio 5:

Observa la siguiente escena, está preparada para que aprendas a obtener la función de probabilidad de una binomial concreta. Utiliza las flechitas de la parte inferior de la escena para seleccionar el valor de p y el valor de n.

Obtén en tu cuaderno, con la ayuda de la calculadora, la función de probabilidad de la B(4 , 0.4) y cuando hayas terminado comprueba tu resultado utilizando la flecha solución.
Repite el ejercicio anterior para B(5 , 0.45).
Si X es una B(6,0.3) calcula p(X = 4), p(X > 4) y p(X > 1).
Calcula p(X > 0), P(X < 8) y p(3 < X < 6), si X es un distribución B(8,0.5).
En una distribución binomial puedes obtener la media (número de éxitos que esperamos obtener en n tiradas) y la desviación típica mediante las fórmulas:

Calcula la media y las desviaciones típicas de la B(5,0.45) y de la B(8,0.35). Comprueba que obtienes los mismos valores que en la escena.