Los griegos eran conocedores de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...Estos números son los que se utilizan para numerar o contar, pero no nos sirven si queremos expresar cantidades no exactas, como "la mitad de una cosa", "la cuarta parte", etc, es decir, fracciones de cosas.
No obstante, también eran capaces de expresar ese tipo de cantidades, utilizando un cociente o razón entre dos números naturales, 4/5, 8/6, 3/2, 23/7, etc. Eran los llamados números racionales, únicos cuya existencia era razonable. Además, cualquier número natural se puede escribir como si fuera racional:

4=4/1   7=7/1    5=5/1  ...y así con cualquier número.

Por lo tanto, si todos los números son racionales, todos los números se tendrían que poder expresar como un cociente entre otros dos.
Pero entonces, encontraron el número de oro. Y fueron incapaces de encontrar dos números que al dividirlos den el valor exacto de Phi. Se podían aproximar mucho, muchísimo, pero nunca llegar exactamente al valor de Phi.

¿Por qué? Es sencillo. Al dividir dos números naturales, llega un momento, antes o después, que la división acaba, aunque obtengas muchos decimales.
Ahora bien, existen números que no es que tengan muchos decimales, ¡es que tienen infinitos!, nunca se acaban sus decimales, así que no se pueden expresar como cociente de dos números naturales. Los pitagóricos habían encontrado uno de ellos, nuestro Phi. Los llamaron números irracionales.
¡¡Y sólo se les ocurrió no decírselo a nadie!!

Al final de estos números se suelen colocar puntos suspensivos...para indicar que nunca puedes encontrar el último decimal, siempre hay otro detrás.Observa varios ejemplos:

3,010011000111000011110000011111...

23,12345678910111213141516171819...

3,14159265359... ¿Te suena?  Este irracional se llama Pi.

4,101101110111101111101111110...

Además, todas las raices cuadradas que no sean exactas son también números irracionales, la de 2, la de 3, la de 5, etc.