Los Poliedros Regulares
Resumen.
Se muestran los cinco poliedros regulares que existen y se presenta la fórmula de Euler.
Objetivo.
Aprender que solamente hay cinco poliedros regulares y pensar porqué.
Conocer la fórmula de Euler, comprobarla para los cinco poliedros regulares y pensar porqué es válida para cualquier poliedro cerrado.
Actividades recomendadas.
Contar los vértices, aristas y caras de los poliedros regulares. Comprobar la fórmula de Euler en estos casos. Para ello se recomienda utilizar el modelo "COLORES" porque ayuda a distinguir las caras. Pensar porqué no hay más poliedros regulares empezando por razonar porqué no se puede formar un poliedro regular con hexágonos.
¿Sabías que sólo hay 5 poliedros regulares?
¿Sabías que en todos los poliedros cerrados la suma de los vértices menos las aristas más las caras es 2?
| El más sencillo de los poliedros regulares es el tetraedro que, como su
nombre indica, tiene cuatro caras triangulares. Los triángulos de las caras son todos
triángulos equiláteros. ¿Cuántos vértices tiene el tetraedro? ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro? Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2? |
| El cubo tiene seis caras cuadradas por lo cual a veces
también se le llama hexaedro regular. ¿Cuántos vértices tiene el cubo? ¿Cuántas aristas tiene el cubo? Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2? |
| El octaedro tiene ocho caras triangulares. ¿Cuános vértices tiene el octaedro? ¿Cuántas aristas tiene el octaedro? Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2? |
| El dodecaedro tiene doce caras pentagonales. ¿Cuános vértices tiene el
dodecaedro? ¿Cuános vértices tiene el dodecaedro? ¿Cuántas aristas tiene el dodecaedro? Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2? |
| Finalmente el icosaedro tiene veinte caras triangulares. ¿Cuános vértices tiene el icosaedro? ¿Cuántas aristas tiene el icosaedro? Si V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras, ¿es verdad que V-A+C=2? |
¿Por qué crees que sólo hay cinco poliedros regulares? ¿Por qué no puede haber uno más de los que aquí se muestran?
Un poliedro regular debe tener algún polígono regular, el mismo, en todas sus caras.
Observa que de los poliedros presentados tres están formados por triángulos, uno por cuadrados y uno por pentágonos. No hay ninguno formado por hexágonos o polígonos de más lados. ¿Se podría formar algún otro poliedro regular con triángulos? ¿Se podría formar algún otro con cuadrados? ¿Se podría formar algún otro con pentágonos? ¿Por qué no?
¿Por qué no se puede formar ningún poliedro regular con hexágonos?
La fórmula V-A+C=2 que se cumple en los poliedros regulares también se cumple en cualquier poliedro cerrado, aunque no sea regular. Se llama la fórmula de Euler. ¿Puedes pensar en una demostración de ésta para todos los poliedros cerrados?
La idea es sencilla. Primero demuestras que el poliedro se puede convertir en uno en que todas sus caras son triángulos. Esto se logra agregando aristas a las caras. Agregar una arista a una cara agrega también un nueva cara con lo cual la suma V-A+C no se altera. Quitamos ahora una de las caras, la suma V-A+C disminuye en uno pues no se quita ningún vértice y ninguna arista. Ahora seguimos quitando caras (que son triángulos) de la orilla, es decir, que tengan alguna arista libre. Si quitas un triángulo que tiene una sola arista libre entonces quitas sólo una arista y una cara, con lo cual la suma V-A+C no se altera. Si quitamos un triángulo que tiene dos aristas libres entonces desaparecen al mismo tiempo un vértice y una cara con lo cual la suma V-A+C tampoco se altera. Continuamos de esta manera hasta que queda un solo triángulo que es el único caso que tiene tres aristas libres y en este caso es obvio que V-A+C=1, así que si sumamos la cara que quitamos al comenzar nos queda que V-A+C=2, que es lo que queríamos demostrar.