DEFINICIONES:
Los cuerpos o sólidos son objetos en los que pueden apreciarse las tres dimensiones: largo, ancho y alto. El conjunto de sus puntos tiene la propiedad de que las distancias mutuas permanecen invariables en los desplazamientos. Poseen un volumen y están limitados por una superficie.
Algunos tipos de sólidos:
Los poliedros son cuerpos cuyas caras son polígonos planos. Los vértices y lados de éstos son los vértices y aristas del poliedro. Un cubo, una pirámide, un paralelepipedo, un prisma, son ejemplos de poliedros.
El número de polígonos que concurren en un vértice es el orden del vértice. Si todas las caras de un poliedro son polígonos regulares iguales y los vértices del poliedro son similares (igual orden y orientación), el poliedro es regular. Para nombrarlos se utiliza la notación de Schläfli: {p, q}, siendo p el número de lados del polígono y q el número de ellos que concurren en un vértice. El cubo, por ejemplo, es un poliedro regular {4, 3}
Se llaman deltaedros los poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros. El tetraedro regular es el deltaedro de menor número de caras.
Un poliedro es semirregular (ver el apartado de relaciones) si sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y sus vértices son todos similares en el sentido de que los polígonos verticiales son iguales.
Un poliedro es convexo si cada una de sus caras está en un mismo semiespacio con relación al plano que contenga la cara. En caso contrario, el poliedro se dice cóncavo.
Algunas cuerpos cuya superficie es reglada:
Un cilindro está generado por una curva plana llamada directriz y una recta, llamada generatriz, que se mueve paralelamente a si misma, apoyándose en la directriz,
Por un abuso de lenguaje, seguimos llamando cilindro al conjunto de puntos de la superficie cilíndrica y de sus puntos interiores (sólido cilíndrico).
Los cilindros podemos considerarlos como limite de prismas.
Un cono es una superficie reglada engendrada por una recta (generatriz) que pasa por un punto fijo V, llamado vértice del cono, apoyandose en una curva plana (directriz).
Superficies de revolución:
Una superficie de revolución es la engendrada por una curva, llamada directriz, al girar alrededor de una recta fija llamada eje de revolución. Algunos ejemplos:
En un cono de revolución la generatriz es una recta que corta al eje de revolución en el vértice V.
En un hiperboloide de revolución la generatriz es una hipérbola que gira alrededor de uno de sus ejes de simetría.
En un paraboloide de revolución la generatriz es un parábola que gira alrededor de su eje.
En un elipsoide de revolución la generatriz es una elipse que gira alrededor de uno de sus ejes. En particular, si la elipse es una circunferencia, se obtiene la esfera.
Una esfera puede considerarse como un poliedro de infinitas caras.
Las superficies anteriores, son ejemplos de la familia de las cuádricas (superficies del espacio de tres dimensiones de orden 2).
COMENTARIOS:
Sólido procede del latín solidum: macizo, compacto. Es un estado de la materia que presenta una consistencia más firme que los líquidos y vapores. Si los átomos se disponen arbitrariamente y pueden oscilar alrededor de posiciones fijas, el cuerpo se dice amorfo; si la distribución es ordenada, el cuerpo es un cristal.
Los cuerpos adoptan diferentes formas, condicionadas por la estructura del espacio, las condiciones ambientales y las funciones que desempeñan en la naturaleza:
La gravedad influye decisivamente en el tamaño y forma de los cuerpos, excepto en los pequeños, que tienen tendencia a la esfericidad. Cuanto más se agranda un cuerpo, más pesa; y como la superficie crece más lentamente que el volumen (ver apartado de relaciones) la presión aumenta, lo que producirá el desplome del cuerpo, al no resistir tanta presión sus estructuras.
El número de formas geométricas posibles para el exoesqueleto de los animales sin muda es limitado. Estas formas derivan del cono.
Los cristales de la naturaleza sólo pueden formas 7 tipos de estructuras básicas.
(insertar cristal geología)
Nota: La lista de fotos actual puede completarse con la de las esferas y con la de las espirales.
RELACIONES:
Fórmula de Euler:
En cualquier poliedro convexo, si C representa el número de caras, V el de vértices y A el de aristas, se tiene:
C+V-A=2
Esta relación limita el número de poliedros convexos posibles. En tabla 1 y tabla 2 puede comprobarse esta relación para algunos poliedros.
Cortes planos de un cuerpo:
Al cortar un cuerpo mediante planos, se obtienen figuras planas diversas, son sus secciones.
Los cuerpos se clasifican según sus simetrías, por ejemplo, si un plano divide al cuerpo en dos partes iguales, se dice que es un plano de simetría. Dos planos de simetría que se corten determinan un eje de simetría. Si existen dos o más ejes de simetría que se corten en un punto, el cuerpo tiene un centro de simetría.
Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Estos poliedros también se llaman poliedros platónicos; ya que para Platón representaban los cuatro elementos de la Naturaleza: El tetraedro el fuego, el cubo la tierra, el octaedro el aire y el icosaedro el agua; el dodecaedro sería el éter, que lo llena todo y que contiene a todos los elementos.
En la figura que sigue se representan estos poliedros de tres maneras: Vista en perspectiva, desarrollo plano y diagrama de Schlegel. Este última corresponde a la vista de un poliedro cuando lo aplastamos sobre una de sus caras, que estiramos de modo que contenga a todas las demás.
Parámetros de los poliedros regulares:
En la tabla que sigue se caracteriza cada poliedro mediante el símbolo de Schläfli {p,q}, siendo p el número de lados que tiene el polígono correspondiente, y q el número de ellos que concurren en cada vértice. C representa el número de caras, V el de vértices y A el de arístas. Finalmente se da el ángulo diedro de dos caras contiguas.
Tabla1
Nombre Símbolo de Schläfli C V A Ángulo diedro Tetraedro {3, 3} 4 4 6 70o 32’ Cubo {4, 3} 6 8 12 90o Octaedro {3, 4} 8 6 12 109o 28’ Dodecaedro {5, 3} 12 20 30 116o 34’ Icosaedro {3, 5} 20 12 30 138o 11’
Tipos de poliedros semirregulares:
Y, excluyendo los prismas, sólo hay catorce poliedros semirregulares.
Las características de estos poliedros son:
| Nombre | C | V | A | Ángulos diedros |
| Tetraedro truncado | 4
triángulos 4 hexágonos |
12 | 18 | 70o
32' (hex-hex) 109o 28' (hex-tri) |
| Cuboctaedro | 8
triángulos 6 cuadrados |
12 | 24 | 125o 16' |
| Cubo truncado | 8
triángulos 6 octógonos |
24 | 36 | 90o
(oct-oct) 125o 16' (oct-tri) |
| Octaedro truncado | 6
cuadrados 8 hexágonos |
24 | 36 | 109o
28' (hex-hex) 125o 16' (hex-cuad) |
| Pequeño rombicuboctaedro | 8
triángulos 18 cuadrados |
24 | 48 | 135o
(cua-cua) 144o 44' (cua-tri) |
| Pseudorombicuboctaedroo Sólido de Sommerville |
8
triángulos 18 cuadrados |
24 | 48 | 135o
(cua-cua) 144o 44' (cua-tri) |
| Gran rombicuboctaedro o cuboctaedro truncado | 12
cuadrados 8 hexágonos 6 octógonos |
48 | 72 | 135o
(0ct-cua) 125o 16' (oct-hex) 144o 44' (hex-cua) |
| Snub-cubo | 32
triángulos 6 cuadrados |
24 | 60 | 142o
59' (cua-tri) 153o 14' (tri-tri) |
| Icosidodecaedro | 20
triángulos 12 pentágonos |
30 | 60 | 142o 37' |
| Dodecaedro truncado | 20
triángulos 12 decágonos |
60 | 90 | 116o
34' (dec-dec) 142o 37' (dec-tri) |
| Icosaedro truncado | 12
pentágonos 20 hexágonos |
60 | 90 | 138o
11' (hex-hex) 142o 37' (hex-pen) |
| Pequeño rombicosidodecaedro | 20
triángulos 30 cuadrados 12 pentágonos |
60 | 120 | 148o
17' (dec-cua) 159o 6' (tri-cua) |
| Gran rombicosidodecaedro o icosidodecaedro truncado | 30
cuadrados 20 hexágonos 12 decágonos |
120 | 180 | 148o 17' (dec-cua) |
| Snub-dodecaedro | 80
triángulos 12 pentágonos |
60 | 150 | 152o
56' (pen-tri) 164o 11' (tri-tri) |
Tipos de deltaedros convexos:
Sólo existen 8 deltaedros convexos.
Superficie y volumen de los cuerpos:
Si d es la dimensión lineal de un cuerpo, la superficie de dicho cuerpo es proporcional a d2 y su volumen es proporcional a d3. Los organismos vivos y también las construcciones arquitectónicas están condicionadas por las relaciones anteriores: debe guardarse un equilibrio entre volumen (masa) y superficie, pues aquel crece mucho más deprisa que ésta, de modo que la presión (=peso/superficie) aumenta.
| Nombre | Superficie | Volumen | Nota |
| Tetraedro | 1,73 a2 | 0,12 a3 | a es la arista del poliedro |
| Cubo | 6 a2 | a3 | a es la arista del poliedro |
| Octaedro | 3,46 a2 | 0,47 a3 | a es la arista del poliedro |
| Dodecaedro | 20,65 a2 | 7,66 a3 | a es la arista del poliedro |
| Icosaedro | 8,66 a2 | 2,18 a3 | a es la arista del poliedro |
| Paralelepipedo rectangular (caja) | 2ab+2ac+2bc | abc | Las tres dimensiones de la caja son a, b y c. |
| Prisma | 2A+L | Ah | A
es el área de la base, L el área lateral y h la altura. Si el cilindro es de revolución y R es el radio de la base, entonces A=pR2 y L=2pRh. |
| Cilindro | 2A+L | Ah | |
| Pirámide | A+L | (1/3) Ah | A
es el área de la base y h la altura. Si el cono es de revolución, entonces A=pR2, L=pRg, siendo g la generatriz del cono. |
| Cono | A+L | (1/3) Ah | |
| Bola | (4/3)pR3 | R es el radio de la bola | |
| Elipsoide | (4/3)pabc | a, b y c son los semiejes del elipsoide |
Macizar el espacio:
Para llenar el espacio con poliedros regulares, semirregulares y prismas regulares, sin dejar huecos, y unidos por sus caras, sólo hay 22 posibilidades. Ejemplos:
Cubo, prima triangular, prisma hexagonal y octaedro truncado.
Tetraedro y octaedro; tetraedro y tetraedro truncado; octaedro y cuboctaedro.
Pero también puede rellenarse el espacio con otros poliedros; por ejemplo, el dodecaedro elongado.
Ecuaciones analíticas de los hiperboloides:
Respecto a un sistema de referencia cartesiano ortonormal, si a, b y c son los semiejes, se tiene
Hiperboloide de dos hojas:
Hiperboloide de una hoja:
Hiperboloides de revolución: basta hacer a=b.
Ecuaciones analíticas de los paraboloides:
Respecto a un sistema de referencia cartesiano ortonormal, si a, b son los semiejes, se tiene
Paraboloide eliptico:
Paraboloide hiperbólico (silla de montar):
Paraboloides de revolución: basta hacer a=b.
